변동성이 수익을 얼마나 갉아먹는가

변동성 끌림이란에서는 3배 ETF가 지수가 제자리로 돌아와도 손실이 남는 이유를 다뤘습니다. 이 글은 한 걸음 더 가서 얼마나 남는지를 계산합니다. 끌림의 크기를 변동성의 함수로 쓸 수 있으면, “지금 시장이 어느 정도 변동성이면 3배 ETF를 1년 들고 있을 때 얼마가 빠지는가”를 숫자로 말할 수 있게 됩니다.

1. 끌림의 근사 공식

레버리지 배수를 L, 지수의 하루 수익률 표준편차(일 변동성)를 σ라고 하면, 하루당 끌림은 대략 다음과 같습니다.

하루 끌림 ≈ −(L² − L) / 2 × σ²

3배(L=3)면 (9 − 3) / 2 = 3, 즉 하루 끌림 ≈ −3σ²입니다. 여기에 연간 거래일 252를 곱하면 연간 끌림이 됩니다.

이 식이 나오는 배경을 짧게 적으면: 하루 수익률 r에 대해 ETF는 (1 + Lr)만큼 움직이고, 이를 여러 날 곱한 값의 로그를 전개하면 1차 항은 L × (지수 로그수익률)이고, 2차 항에서 −(L² − L)/2 × r²이 남습니다. 1차 항은 “지수의 L배”이고, 2차 항이 지수에 없는 순수한 비용 — 끌림 — 입니다. r²의 평균이 σ²이므로 위 식이 됩니다.

2. 일 변동성별 연간 끌림

σ를 몇 가지 넣어 보면 끌림이 얼마나 빨리 커지는지 보입니다.

일 변동성 σ	연 변동성 (σ×√252)	3배 ETF 연간 끌림 (근사)
1.0%	약 16%	−7.6%
1.5%	약 24%	−17.0%
2.0%	약 32%	−30.2%
3.0%	약 48%	−68.0%
4.0%	약 63%	(근사식 한계 초과 — 실제로는 −100%에 수렴)

읽는 법: 나스닥100의 일 변동성이 평상시 1.0~1.5% 수준이면, 지수가 1년 뒤 제자리라 해도 3배 ETF는 −8%에서 −17% 사이가 됩니다. 변동성이 2%대로 올라가는 조정장에서는 지수가 제자리여도 **−30%**입니다.

핵심은 제곱입니다. 변동성이 2배가 되면 끌림은 4배가 됩니다. 1%에서 2%로 가면 −7.6%가 −30.2%로 뛰는 것이 그 때문입니다. 그래서 “변동성이 커진 뒤”가 레버리지 ETF에 가장 위험한 시기입니다 — 방향이 아니라 변동성 자체가 손실을 만듭니다.

3. 지수 시나리오별 1년 결과

근사식은 지수가 제자리일 때의 끌림입니다. 지수가 움직이면 1차 항(지수의 3배)과 끌림이 합쳐집니다. 이를 시뮬레이션으로 확인했습니다.

계산 방법: 252일 동안의 하루 수익률을 정규분포(평균 0, 표준편차 σ)로 뽑은 뒤, 1년 누적 수익률이 정확히 목표값이 되도록 모든 날의 수익률을 같은 비율로 조정했습니다. 각 시나리오를 2,000회 반복해 3배 ETF 결과의 중앙값과 10~90% 구간을 구했습니다. 비용(보수·조달비용)은 포함하지 않았으므로 실제는 이보다 더 나쁩니다.

지수 1년 수익률	σ = 1% (평온)	σ = 2% (조정장)
−30%	−68%	−75%
−10%	−32%	−46%
0%	−7%	−26%
+10%	+24%	−1%
+30%	+104%	+63%

몇 가지가 눈에 띕니다.

• 지수 +10%인데 3배 ETF가 −1% (σ=2%). “지수가 올랐으니 3배로 벌었겠지”가 성립하지 않는 구간입니다. 지수 수익 10%의 3배(+30%)를 끌림(−30%)이 정확히 상쇄했습니다.
• 지수 +30%에서 σ에 따라 +104% vs +63%. 같은 결과, 같은 방향인데 경로의 거칠기만으로 40%p가 갈립니다.
• 하락장에서는 σ가 커도 차이가 상대적으로 작습니다. −30% 시나리오에서 −68% vs −75%. 이미 3배로 맞고 있어서 끌림이 추가로 더할 여지가 적습니다.

10~90% 구간은 표에서 생략했지만 σ=1%에서는 중앙값 ±1%p 이내, σ=2%에서는 ±3%p 정도였습니다. 즉 위 숫자는 “운”이 아니라 구조입니다.

4. 이 표를 실전에 어떻게 쓰나

(1) 보유 기간을 정할 때. 3배 ETF를 “일단 사 두고 기다린다”는 방식은 σ=1%대 평온장에서만 성립합니다. 조정장(σ=2%)에서 지수가 1년 뒤 +10%를 해도 본전인 상품을 무작정 들고 있을 이유가 없습니다.

(2) 규칙 매매가 분할·매도를 강제하는 이유를 이해할 때. 무한매수법이 일정 수익에서 반드시 팔게 하고, VR이 밴드 상단에서 무조건 덜어 내게 하는 것은 끌림이 쌓이기 전에 수익을 확정하려는 장치로 읽을 수 있습니다. 변동성이 큰 구간에서는 오래 들고 있을수록 손해이니, 팔 기회가 오면 파는 것이 구조적으로 맞습니다.

(3) 백테스트 수익률을 볼 때. 백테스트가 σ=1%대의 상승장 구간에서 나온 것이라면, 그 수익률은 σ=2%대 구간에서 재현되지 않습니다. 구간의 변동성을 함께 보지 않은 백테스트 수익률은 정보가 아닙니다. 백테스트를 믿어도 될까에서 이 문제를 더 다룹니다.

5. 근사식의 한계

• σ가 3%를 넘으면 근사식이 과장됩니다(2차 전개이기 때문). 그 구간은 시뮬레이션으로 봐야 합니다.
• 실제 시장의 하루 수익률은 정규분포보다 꼬리가 두껍습니다. 급락일이 끼면 끌림이 표보다 큽니다.
• 비용(보수, 스왑 조달비용)은 빠져 있습니다. 금리 5% 환경이면 여기에 연 −10% 안팎을 더 빼야 합니다. 3배 ETF의 구조에서 다룬 내용입니다.

정리

• 3배 ETF의 끌림은 하루 −3σ², 연간 약 −756σ². 변동성이 2배면 끌림은 4배.
• 평온장(σ 1%) 1년 끌림 약 −8%, 조정장(σ 2%) 약 −30%.
• 지수 +10%, σ 2%면 3배 ETF는 본전. 방향이 맞아도 경로가 거칠면 벌지 못한다.
• 그래서 변동성이 큰 구간일수록 팔 기회에 팔아 두는 규칙이 구조적으로 유리하다.