배수 선택의 수학 — 1배·2배·3배는 무엇이 다른가
“3배는 위험하니 2배로 하자”는 말은 직관적이지만, 정확히 어느 상황에서 2배가 3배보다 나은지는 계산해 봐야 압니다. 결론부터 말하면 — 끌림은 배수의 제곱에 가깝게 커지지만, 상승장의 복리 효과도 배수에 따라 커지므로, 지수가 얼마나 오르느냐와 얼마나 흔들리느냐에 따라 유불리가 뒤집힙니다. 이 글은 그 경계를 숫자로 그립니다.
1. 끌림은 배수에 따라 어떻게 커지나
섹션 제목: “1. 끌림은 배수에 따라 어떻게 커지나”앞 글의 근사식 하루 끌림 ≈ −(L² − L)/2 × σ²에 L을 넣어 보면:
| 배수 L | (L² − L)/2 | 일 변동성 1.5%일 때 연간 끌림 |
|---|---|---|
| 1배 | 0 | 0% |
| 2배 | 1 | −5.7% |
| 3배 | 3 | −17.0% |
2배에서 3배로 가면 익스포저는 1.5배 늘지만 끌림은 3배 늘어납니다. 여기까지만 보면 3배가 일방적으로 불리해 보입니다.
2. 그런데 상승장에서는 복리가 배수를 편든다
섹션 제목: “2. 그런데 상승장에서는 복리가 배수를 편든다”지수가 꾸준히 오르는 경로에서는 매일 익스포저를 키우는 리밸런싱이 유리하게 작동합니다. 지수가 하루 +1%씩 20일 연속 오르면:
- 지수: 1.01²⁰ − 1 = +22.0%
- 3배 단순 계산: +66%
- 3배 ETF 실제: 1.03²⁰ − 1 = +80.6%
단순 3배(+66%)보다 14%p 더 올랐습니다. 이것이 “양의 끌림”이고, 추세가 강할수록 커집니다. 즉 배수 선택은 “끌림(음)“과 “추세 복리(양)” 중 어느 쪽이 큰가의 문제입니다.
3. 시나리오별 1년 결과 — 1배 vs 2배 vs 3배
섹션 제목: “3. 시나리오별 1년 결과 — 1배 vs 2배 vs 3배”일 변동성 1.5%(나스닥100의 평상시~약간 거친 수준)를 가정하고, 지수의 1년 수익률별로 각 배수의 결과 중앙값을 시뮬레이션했습니다. 계산 방법은 앞 글과 같고(252일, 1,500회 반복), 비용은 제외했습니다.
| 지수 1년 수익률 | 1배 | 2배 | 3배 |
|---|---|---|---|
| −30% | −30% | −54% | −71% |
| −20% | −20% | −40% | −57% |
| −10% | −10% | −24% | −39% |
| 0% | 0% | −6% | −16% |
| +10% | +10% | +14% | +12% |
| +20% | +20% | +36% | +46% |
| +30% | +30% | +60% | +85% |
| +50% | +50% | +113% | +185% |
읽는 법:
- 지수 +10% 부근이 2배와 3배의 교차점입니다. 여기서는 2배(+14%)가 3배(+12%)보다 낫습니다. 3배의 추세 복리가 끌림을 겨우 넘어서는 지점이라서입니다.
- 지수 +20% 이상이면 3배가 확실히 앞서고, 격차는 빠르게 벌어집니다(+50%에서 113% vs 185%).
- **지수 0~−30%**에서는 배수가 높을수록 일방적으로 나쁩니다. 하락에 3배로 맞고 끌림까지 더해집니다.
- **2배는 지수 0%에서 −6%**로 손실이 작습니다. “제자리 장”에서의 방어력은 2배가 훨씬 낫습니다.
변동성이 2%로 커지면 교차점은 오른쪽(더 높은 지수 수익률)으로 이동합니다. 즉 시장이 거칠수록 3배가 2배를 이기려면 지수가 더 많이 올라야 합니다.
4. 그래서 어느 배수를 고르나
섹션 제목: “4. 그래서 어느 배수를 고르나”이 표가 말해 주는 것은 “3배가 좋다/나쁘다”가 아니라 3배는 지수가 연 20% 이상 오르는 시기에만 2배를 이긴다는 것입니다. 나스닥100이 연 20% 이상 오른 해는 많지만 매년은 아닙니다. 그 사이의 횡보·하락 해에 3배는 2배보다 훨씬 깊게 빠집니다.
따라서 배수 선택은 세 가지 질문으로 귀결됩니다.
- 지수가 +10% 이하로 끝나는 해에 3배의 −16%~−71%를 견딜 수 있는가. 못 견디면 2배입니다.
- 횡보·하락기에 팔고 현금을 만드는 규칙이 있는가. 규칙 매매가 3배를 쓰는 근거는 “오래 들고 있지 않는다”입니다. 들고만 있을 계획이면 3배를 선택할 이유가 약합니다.
- 변동성이 커졌을 때 배수를 낮출 수 있는가. 표의 교차점이 오른쪽으로 밀리는 국면(σ 2%대)에서는 같은 규칙이라도 2배 상품이 유리해집니다.
5. 규칙 매매와의 연결
섹션 제목: “5. 규칙 매매와의 연결”무한매수법이 종목을 TQQQ·SOXL로 한정하는 것은 “3배가 최고여서”가 아니라, 분할매수·분할매도 규칙이 3배 ETF의 큰 진폭을 전제로 설계되었기 때문입니다. 같은 규칙을 2배에 적용하면 매수·매도 지점에 도달하는 빈도가 줄어 사이클이 느려집니다. 반대로 VR은 배수와 무관하게 V 곡선과 밴드로 작동하므로 2배 상품에도 적용할 수 있고, 실제로 변동성이 큰 시기에 배수를 낮추는 선택이 가능합니다.
- 끌림은 2배→3배에서 3배로 커지지만, 추세 복리도 배수를 따라 커진다.
- σ 1.5% 기준 지수 +10%가 2배와 3배의 교차점. 그 아래에서는 2배, 그 위에서는 3배.
- 시장이 거칠어질수록 교차점은 오른쪽으로 밀린다 — 3배가 이기기 어려워진다.
- 3배를 쓰려면 “횡보·하락기에 들고만 있지 않는 규칙”이 있어야 한다. 규칙 없이 3배를 장기 보유하는 것은 표의 왼쪽 절반에 베팅하는 것과 같다.